Több évtizedes problémát oldott meg a Debreceni Egyetem matematikusa

A kutatás középpontjában az úgynevezett diofantoszi egyenletek állnak. Ezek olyan többismeretlenes egyenletek, ahol a megoldásokat az egész számok halmazában keressük. Az egyik legismertebb ilyen a középiskolában is tanult a2 + b2 = c2 egyenlet, ahol például a (3, 4, 5) számhármas (32 + 42 = 52) megoldást ad, de ez csak egyetlen számhármas a végtelen sok megoldás közül – magyarázta Pink István, aki japán kollégájával egy ennél sokkal általánosabb problémával foglalkozott, nevezetesen az ax+by=cz egyenlettel, ahol már a kitevőkben is ismeretlenek vannak.

A kérdésük így szólt: ha veszünk három tetszőlegesen rögzített, egynél nagyobb, relatív prím – azaz közös osztóval nem rendelkező – a,b,c pozitív egész számot, és ezeket tetszőleges x,y,z pozitív egész hatványra emeljük, hányszor fordulhat elő, hogy kettő összege éppen kiadja a harmadikat?

A DE Természettudományi és Technológiai Kar Matematikai Intézetének egyetemi docense és szerzőtársa bebizonyította, hogy bármilyen a,b,c számokat is választunk alapnak, az ax+by=cz egyenletnek legfeljebb két (x,y,z) megoldása lehet a pozitív egész számok körében, kivéve az (a,b,c)=(3,5,2), (5,3,2) eseteket, amikor is az egyenletnek pontosan 3 megoldása van. Ezzel egy több évtizede nyitott kérdést válaszoltak meg.

Az igazi értéke ennek az eredménynek az, hogy a lehető legpontosabb abban az értelemben, hogy az a,b,c egészeket végtelen sok módon meg tudom úgy választani, hogy az egyenletnek pontosan két (x,y,z) megoldása legyen – foglalta össze a kutató.

A siker nem a véletlen műve. Pink István a nagy múltú debreceni Számelméleti Iskola tagja, amelyet Győry Kálmán professzor neve fémjelez. A debreceni kutató és kollégája két éven át dolgozott a megoldáson, ezalatt több mint ezer e-mailt váltottak. Volt olyan pont, amikor már majdnem megelégedtek egy gyengébb állítással, de kitartásuk és a matematikába vetett hitük átlendítette őket a holtponton.

Éreztem az erőt, éreztem, hogy ennek meg kell lenni – emlékezett vissza a kutató. A bizonyítás végül 78 oldalt tett ki és a szokásos néhány hónap helyett két évig bírálták megjelenés előtt. A D1-es minősítésű tanulmány végül komoly nemzetközi elismerést vívott ki magának, hiszen az egyik legrangosabb szaklapban, az American Journal of Mathematics oldalain kapott helyet. Nem csoda, hogy elnyerte a Gróf Tisza István Debreceni Egyetemért Alapítvány Publikációs Díját is.

Bár ez egy alapkutatás, a számelmélet az alapja minden modern digitális biztonságnak. Amikor bankkártyával fizetünk vagy titkosított üzenetet küldünk, a háttérben hasonlóan bonyolult számelméleti algoritmusok védik az adatainkat. Pink István eredménye közvetlenül talán nem a holnapi okostelefont fejleszti, de olyan új módszereket adott a tudománynak, amelyek ötven vagy száz év múlva akár alapvető technológiák részei lehetnek.

_{Forrás: Debreceni Egyetem, továbbította a Helló Sajtó! Üzleti Sajtószolgálat.}